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内容提要:本文在挖掘道书文献新史料的基础上,就中国传统数学史上的天元术与道教关系进行辨析,从一个侧面分析道教对中国传统数学思想的影响。作者认为:天元术产生的直接渊源是道教“天元”思想,李冶的天元术不仅直接渊源于道教洞渊九容之说,而且从科学思想方法上分析,其“立天元一”的代数表达思想得益于道教三元并列的思维模式。 关键词:天元术 道教 中国传统数学 数学是中国古代最为发达的四大学科之一,中国古代数学的成就及其思想脉络历来是中国科技史研究的重要领域。南宋著名数学家秦九韶有一句名言“数与道非二本”①,很早就注意到自然界的数量关系与天地自然之道的本质联系。道门人士对天地之道的积极探寻,必然会涉及自然之道的数量关系和空间形式,从而在数学领域有所建树。本文拟就中国传统数学史上的天元术与道教关系进行考论,从一个侧面分析道教对中国传统数学思想的影响。 一 天元术产生的直接渊源是道教“天元”思想,金末元初著名数学家李冶(1192~1279)的《测圆海镜》一书则标志着天元术的成熟。李冶天元术直接渊源于今已不存的“洞渊九容”之说,从科学思想方法上分析,其“立天元一”的代数表达思想得益于道教三元并列的思维模式,他所发展的天元术理论和数学思想对宋元数学的长足进步有着重要意义。今人白尚恕先生归纳总结了李冶《测圆海镜》在数学方面的十大贡献②,有助于我们了解天元术思想的科学意义,兹录如下: 1.一个文字按其不同位置及系数以表示未知数的各次项,使得由文词代数能顺利地演变成符号代数。 2.对十进小数的表示法,与现今十进小数表示法,只差一个小数点。 3.利用乘法消去分母,使分式化为整式。这方法与现今分式方程的解法相一致。 4.利用乘方消去根号,使根式化为有理式。这方法与现今无理方程的解法相一致。 5.创立升位法或降位法,对某些特殊方程在解法上提供了方便。 6.在某种意义上,对正整指数幂与负整指数幂的理解,与现今的理解比较相近。 7.在所列方程的次数上,比唐初王孝通时代有显著的增高。 8.所列方程突破了秦九韶(1202~1261年)“实常为负”的限制。 9.对于筹式的写法,给四元术提供年有利条件。 10.在书末出现了文词代数式的初步尝试。 ----------------------------------- ②白尚恕:《测圆海镜今译》之《前言》,山东教育出版社,1985年,第3—4页。 秦九韶:《数书九章序》,《宜稼堂丛书》本,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,河南教育出版社,1993年,第439页。 ----------------------------------- 正是由于这些多方面的创新贡献,使得李冶《测圆海镜》彪炳史册。李冶本人也十分珍惜这部数学著作,他曾告诫家人:“吾平生著述,死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书,虽九九小数,吾尝精思致力焉。后世必有知者,庶可布广垂永乎!”①笔者以为,李冶的天元术不仅直接渊源于洞渊九容之说,而且从科学思想方法上分析,其“立天元一”的代数表达思想得益于道教三元并列的思维模式。 根据李冶《敬斋古今注》,也声称其本人在东平得一神秘《算经》: 余至东平,得一《算经》,大概多明如积之术,以十九字志其上下层数曰:仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天;人;地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极,而以天、地各为元,而涉降之。② 东平在山东境内。李冶在东平得到的《算经》其独特的数学思想是以人表示常数项,居中;仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天表示未知数的9、8、7、6、……2、1次幂,居人之上;地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼表示未知数的-1、2、-3、-4、……-8、-9次幂,居人之下。这里用仙、明、霄、汉等符号来表示天元,用人代表地元,用逝、泉、暗、鬼等符号来代表地元的思想明显受到道教的影响,带有浓厚的道教色彩。 三元是道教的一个重要术语和思想概念。道教的三元思想渊源于《周易》的天、地、人三才说,《周易·说卦》云:“昔者圣人之作《易》也,将以顺性命之理。是以立天之道曰阴与阳,立地之道曰柔与刚,立人之道曰仁与义。兼三才而两之,故《易》六画而成卦。”道门人士将《周易》的三才引入道教,泛指三种相互关联且意义重点的事物,称三元。道教以三洞宗元为基本教义思想,道教的基本信仰和经教体系无不宗元于此,是道教的根本宗元。《云笈七籤》卷三《道教本始部·道教所起》认为:“寻道家经诰,起自三元,从本降迹,成于五德。”③“原夫道家由,肇起自无先垂迹应感生乎妙一,从乎妙一分为三元,又从三元变成三气,又从三气变生三才,三才既滋,万物斯备。”④道教以三洞(洞真、洞玄、洞神)为三元,三洞之元,本同道气,道气惟一,应用为三。因此,道教神仙理论以三元为三宝君,即天宝君、灵宝君、神宝君分别治于三清境,是为道教最高神灵三清尊神。当然,三元在道教典籍中还有多种指称和用法。有以日、月、星为三元者,《黄庭内景经》云:“上睹三元如连珠。”梁丘子注云:“三元,谓三光之元,日、月、星也。”⑤有以三丹田为三元者,例如《周易参同契》云:“含精养神,通德三元。”俞琰注:“三元,上中下之三田也。”⑥还有以身体器官头、心、肾为三元者,例如道书《洞真太上道君元丹上经》云:“故使阴阳之数,历备三元,头为天元,心为中元,肾为下元,并三万六千神主所治,名曰三元微妙,分别左右。”⑦有以精气神为三元者,例如《悟真篇》云:“黄牙白雪不难寻,达者须凭德行深。四象五行全仗土,三元八卦岂离壬。”三元,刘一明《直指》列为元精、元气、元神。也有不同的注释,陆西星《方壶外史》认为系“天元、地元、人元”。⑧《道藏》中以三元为书名的道书有十余部,如《上清三元玉检三元布经》、《太上洞玄灵宝三元玉京玄都大献经》、《太上洞神三元妙本福寿真经》等等。其中元代李鹏飞的《三元延寿参赞书》,以道教三元之说为全书的论述总纲,“人之寿,天元六十,地元六十,人元六十,共一百八十岁,不知戒慎,则日加损焉。精气不固,则 ---------------------------------- ①王德渊:《敬斋先生测圆海镜后序》,《知不足斋丛书》本,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,第868页 ②李冶:《敬斋古今注》卷三,藕香零拾本。 ③《云笈七籤》卷三,《道藏》第22册,第12页。 ④《云笈七籤》卷三,《道藏》第22册,第13页。 ⑤《黄庭内景经注》卷中,《道藏》第6册,第526页。 ⑥俞琰:《周易参同契发挥》卷八,《道藏》第20册,第249页。 ⑦《洞真太上道君元丹上经》,《道藏》第3册,第619页。 ⑧参见王沐:《悟真篇浅注》,中华书局,1990年,第20页。 ------------------------------------ 天元之寿减矣;谋为过当,则地元之寿减矣;饮食不节,则人元之寿减矣。”①因此《三元延寿参赞书》 卷一论天元之寿,卷二论地元之寿,卷三论人元之寿。此外,道教的节日还有上元节(正月十五)、中元节(七月十五)、下元节(十月十五)之分。虽然道书在三元的概念所指上不尽相同,但是从上述的引证中,我们可以清楚地看到,三元并列是道教构建其庞大教义理论的一个重要思维模式。这种三元并列的思维模式对传统数学代数式的写法和符号化曾起了积极作用。 总而言之,东平《算经》可以和“洞渊九容”互为印证,成为李冶天元术思想渊源于道教的另一个有力旁证。 李冶之后,天元术经二元术、三元术,到了元代朱世杰的《四元玉鉴》进一步发展为四元术,“其法以元气居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上”②,朱世杰分别将一元方程称为“一气混元”,二元方程为“两仪化元”,三元方程为“三才运元”,四次方程为“四象会元”,朱世杰汲取了“天元术”的思想方法,参照了线性方程组的用算筹摆出的“矩阵”运算方法,创造出以“天”、“地”、“人”、“物”表示四个不同的未知数的四元高次方程组的数值解法,成功地解决了四元高次方程组的建立和求解问题,达到了宋元数学的最高成就。 “天”、“地”、“人”三元与“物”并列,在道教典籍《阴符经》③有一个经典的表达:“天地,万物之盗;万物,人之盗;人,万物之盗。三盗既宜,三才既安。”④宋代理学家朱熹化名崆峒道士所著的《阴符经考异》释云:“天地生万物,而亦杀万物者也;万物生人,而亦杀人者也;人生万物,而亦杀万物者也。以其生而为杀者也,故返而言之,谓之盗。犹曰五贼(指五行,笔者注)云尔。然生杀各得其当,则三盗宜。三盗宜,则天地位,万物育矣。”⑤也就是说,天地人与万物之间存在着相互“盗取”互相依存的生态群落关系,强调要正确处理好天、地、人、万物之间的系统关系。虽然笔者尚未发现朱世杰以“天”、“地”、“人”、“物”表示四个不同的未知数的思想方法与道教关系的直接史料证据,但前文已论述了天元术的思想渊源于道教,那么作为天元术发展高峰的四元术,朱世杰的《四元玉鉴》天地人与物并列的“四象会元”方法极有可能也受到道教思想的影响。当然,这仅仅是笔者一种逻辑上的推演和猜测,对此尚须作进一步的史料考证工作。 天元术是一种半符号式的代数,“以不同的文字表示不同的未知数意味着开始向符号代数的转化,这包括了对数的抽象、对文字的抽象、对运算的抽象思维过程,表现了中国高度数学家高度的抽象思维能力。”⑥是近代符号代数的雏形。天元术的出现和完善是中国古代数学思想发展的重要环节,而这一重要数学思想的源头活水乃是道教思想。 二 天元术是一种用数学文字符号列方程的方法。“立天元一”是其主要数学思想方法,这与今之代数学“设Ⅹ为某某”是等价的。中国古代数学列方程的数学思想可以远溯到汉代《九章算术》,书中就用文字叙述的方法建立了二次方程,但尚缺乏明确的未知数概念。唐代王孝通以高度的数学技巧成功地列出了三次方程,但还无法掌握列方程的一般方法,乃然需要借助语言文字来表述。郭 ------------------------------------ ①《三元延寿参赞书》“李鹏飞自序”,《道藏》第18册,第528页。 ②莫若:《四元玉鉴前序》,《知不足斋丛书》本,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,第1205页。 ③王明先生认为《阴符经》的作者是北朝一位久经世变的隐者。其成书年代上限为公元531年之后,下限为唐初。参见王明:《道家和道教思想研究》,中国社会科学出版社,1984年。 ④《黄帝阴符经》,《道藏》第1册,第821页。 ⑤朱熹:《阴符经考异》,《道藏》第2册,第827页。 ⑥王鸿钧、孙宏安:《中国古代数学思想方法》,江苏教育出版社,1988年,第143页。 -------------------------------------- 金彬先生对中国传统计算思想的演变进行了研究,认为:“到了宋代,高次方程的发展使方程的造法越来越困难。但是,不找出某种普遍的列方程的方法是不行的。因为,众所周知,要运用方程求解实际问题,首先要根据问题所提供的条件列出方程,然后解方程求根,获得答案。‘天元术”就是在这种情况下产生出来的具有中国独特风格的一种普遍的列方程的方法”①。郭金彬先生所说的“中国独特风格”,笔者以为其主要就体现在道门中人洞渊所首创的“天元”概念及“立天元一”天元术思想方法。 金代道教数学家所传的天元术对南宋数学思想的发展可能也产生过积极影响。钱宝琮先生在论及“金元之际数学之传授”这一问题时,指出: 南宋数学以秦九韶《数书九章》(公元1247年)为最有价值。九韶为四川人,转至东南,寓居湖州。《数书九章》自序云“早岁侍亲中都,因得访习于太史。又尝从隐君子受数学”。其大衍求一术之“立天元一”,疑得自金人,非南宋另有天元术也。② 钱宝琮先生这一见解很有启发意义。 李约瑟博士在《中国科学技术史》第三卷《数学》中对道家、道教与传统数学关系作过一个基本评价,云:“在历法领域中,数学在社会上属于正统的儒家知识的范畴,但有理由认为它与非正统的道家有关。公元二世纪的徐岳肯定受过道家的影响;这可从十一世纪那部曾给李冶大受启发的神秘著作中看出;此外,宋代萧道存那张奇怪的图也说明了这一点。可惜,人们一直没有弄清楚,在大炼丹家葛洪与数学家孙子这样的人物(他们很可能是同时代人)之间,有没有发生过任何接触。看来,在文艺复兴以前,这种思想上的联系在任何地方多半是不可能有的。”③李约瑟博士认为,道家对传统数学的影响是有限的。李氏还分析了其中的原因,指出“一个很重要的原因必须从中国人对‘自然法则”的态度中去探求。”具体地说:“他们没有造物主(上帝)的观念,因而也没有最高法则制定者的观念,加以他们坚定地认为整个宇宙是一个自给自足的组织(道家人物曾用充满卢克莱修精神的高尚诗篇表达这种观念),这一切就产生一种无所不包的宇宙组织概念,自然规律在其中是没有地位的,因此,只有对于天球上很少几个规律,用数学去解决才是有益的。”④李约瑟博士从道家自然观和宇宙观的特点来分析个中原因,认定道家缺乏构造性宇宙观念,道家的宇宙观是一个自我发生、自我构造、自我变化的自组织的有机模型,这就无法导致宇宙自然规律可用数学形式表达的概念形成。李约瑟的上述观点值得商榷,虽然道家、道教可能缺乏构造性的宇宙观念,但道门人士重视术数、关注数学却是不容忽视和否定的,李约瑟所谓“在文艺复兴以前,这种思想上的联系(指道教与数学,引者注)在任何地方多半是不可能有的。”这种判定是在没有详尽研究道教与中国传统数学思想关系情况下的一种轻率判定,值得商榷。 笔者认为,道教重视术数、关注数学有其内在原因。 1.如前文所述,“数与道非二本”,自然界的数量关系和空间形式与天地自然之道的有着本质联系。清常道人琦美为《数书九章》作序云:“昆仑旁礴,道本虚一。圣有大衍微寓于易,奇余取策,群数皆捐,衍而究之,掘隐知原,数术之传,以实为体,其书九章,惟兹弗纪,历家虽用,用而不知。小试经世,姑推所为,述大衍第一。七精回穹,人事之纪,追缀而求。宵星昼晷,历久则疏,性智能革,不寻天道,模袭何益?三农务稼,厥施自天,以滋以生,雨膏雪零,司牧闵焉。尺寸验之,积以器移, -------------------------- ①郭金彬:《中国传统科学思想史论》,知识出版社,1993年,第43页。 ②《钱宝琮科学史论文选集》,科学出版社,1983年,第321页。 ③李约瑟:《中国科学技术史》第三卷《数学》,科学出版社,1975年,第340页。 ④李约瑟:《中国科学技术史》第三卷《数学》,第341页。 ------------------------- 忧喜皆非,述天时第二。”①道门人士以探寻天地之道为己任,自然之道的数量关系和空间形式自然也就纳入道人的视野。 2.从数学的功用来说,“大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物”。南宋数学家秦九韶《数书九章》自序云: 周教六艺,数实成之学,士大夫所从来尚矣。其用本太虚。生一而周流无穷。大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物。讵容以浅近窥哉!若昔推策以迎日,定律而气,髀矩浚川,土圭度晷。天地之大囿焉而不能外,况其间总总者乎。爰自河图洛书开发秘奥,八卦九畴错综精微,极而至于大衍皇极之用,而人事之变无不该,鬼神之情莫能隐矣。② 经世致用是中国传统数学的显著特点,《周礼·地官司徒·保氏》云:“保氏掌谏王恶而养国子以道,乃教六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭,五曰六书,六曰九数。”九数乃指数学的九种内容。数与礼、乐、射、御、书并称为“六艺”,数学的功用从大的方面来说可以通天沟地,探神明之道,明人之性命之理;从小处来说可以筹划日用生计,区分物类。 秦九韶为南宋数学家,字道古,普州安岳(今属四川)人,生于南宋宁宗嘉泰二年(公元1202年),卒于理宗景定二年(公元1261年)。其所著《数书九章》自序称:“愚陋不闲于艺,然早岁侍亲中都,因得访习于太史,又从隐君子受数学。”③秦九韶之父曾任职工部郎中和秘书少监,因而秦九韶年轻时便有条件饱读皇家典籍,并有机会拜访天文历法、土木工程方面的专家。而值得重视的是,秦九韶“又从隐君子受数学”,这位“隐君子”是何方神仙?秦九韶没有进一步说明,但从其著《数书九章》序中所强调的“数与道非二本”及数可以“通神明,顺性命”的数学观来分析,秦九韶所师从的“隐君子”,极有可能是道门中人。因为《数书九章》中的数学成就尤其是“大衍求一术”的思想方法与术数关系密切。此外,从秦九韶所撰《数书九章》的版本流传情况来看,《数书九章》为道门中人热衷抄传这一现象也支持了我们的推断。《数书九章》成书于公元1247年,据南宋藏书家陈振孙的说法,此书本名《数术》④。宋元时期此书没有刊刻,只有民间抄本流传。明代修《永乐大典》时抄录此书,题称《数学九章》。现能看到的宜稼堂丛书本《数书九章》卷首除了有秦九韶自序外,还有题为“万历四十四年丙辰孟秋晦日清常道人琦美记”的序。该序云: 《数书》十卷,系赞九章,序东鲁秦九韶所作,而书不书著作者姓名,岂即九韶所著耶。……此书原阁抄本,会稽王云来应遴录得,予借录一过。册元止名《数书》,九章二字乃王添入。⑤ 从清常道人琦美(赵琦美)序中,我们可以得出这样一个结论:《数书九章》这一名称是在明代万历年间才出现的,清常道人赵琦美曾转抄过秦九韶的数学著作,并为其增补目录。道门中人对秦九韶数学著作的传抄也从一个侧面折射出秦九韶与道教的密切关系。 3、道教以尊道贵术为基本教义,强调道术合一,“形以道全,命以术延。……道与术二者不可得而离也。术以道为主,道以术为用。”⑥以术演道是道门的一惯传统。因此道门中人对秦汉以来的包括算术在内的术数也投入了极大的热情,继承并加以发挥。《道藏》中所收录的术数著作相当丰富,以至在道门内部还形成以传习占验术数为主的道派⑦,称占验派。 ------------------------------- ①清常道人琦美:《数书九章序》,《宜稼堂丛书》本,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,第439页。 ②秦九韶:《数书九章》自序,《宜稼堂丛书》本,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,第439页。 ③秦九韶:《数书九章》自序,《宜稼堂丛书》本,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,第439页。 ④参见何绍庚:《数书九章题要》,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,第436页。 ⑤清常道人琦美:《数书九章序》,《宜稼堂丛书》本,任继愈主编:《中国科学技术典籍通汇》数学卷一,第441页。 ⑥《上阳子金丹大要》卷十二,《道藏》第24册,第47页。 ⑦道教内部门派众多,因分派标准不同而名称各异。据学理分,有积善派、经典派、符箓派、丹鼎派(金丹派)、占验派五大类。 历代擅长数学的高道和道教术不在少数,如何承天、成公兴、刘焯、李淳风、赵友钦、朱载堉等。曾为道士后弃道入佛的甄鸾①,也在数学领域有过突出贡献。阮元撰集《畴人传》为其立传,并给予很高的评价:“鸾好学精思,富于论撰,诚数学之大家矣。”② 《魏书·释老志》绘声绘色描述了北魏高道寇谦之与仙人成公兴因演算《周髀》的机缘而蒂结“互为师徒”关系的佳话: 世祖时,道士寇谦之,字辅真……早好仙道,有绝俗之心,少修张鲁之术,服食饵药历年无效,幽诚上达。有仙人成公兴,不知何许人,至谦之从母家佣赁。谦之常观其姨,见兴形貌甚强,力作不倦,请回赁兴,代己使役。将还,令其开垦??南辣田,谦之树下坐算。兴垦一发至勤,时来看算。谦之谓曰:“汝但力作,何为看此。”二、三日后,复来看之,如此不已。后谦之算七曜有所不了,茫然自失。兴谓谦之曰:“先生何为不怿?”谦之曰:“我学算累年而近算《周髀》不合,以此自愧且非汝所知,何劳问也。”兴曰:“先生试随兴语布之。”俄然便决。谦之叹服,不测兴之浅深,请师事之。兴固辞不肯,但求为谦之弟子。未几,谓谦之曰::先生有意学道,岂能与兴隐遁?”谦之欣然从之。③ 寇谦之是北魏著名的天师道的改革者,对道教在南北朝的改造和充实做出过重大贡献④。寇谦之早年好道,但由于无师指点,成效不佳。后来在其姨家际遇“仙人”成公兴,偶然发现身为仆役的成公兴居然精通算术,为之叹服,随之入华山,采食药物辟谷。后隐遁嵩山,修道七年,终成一代高道。中国传统科学发展的一个特点就是天文学和算学相互融通、共同促进。天文星象的观测离不开数学计算,故有“步数一家”的说法。阮元撰集《畴人传》,其旨就在于“综算氏之大名,纪步天之正轨,质之艺林,以念来学。”⑤畴人即筹人,书中所载传主皆以算得名、知星之人。历史上兼通天文算学的道人很多。《魏书·释老志》关于寇谦之就曾向算学高手成公兴习七曜之学的记载表明,道人成公兴算术之精深。 道教思想对中国传统数学的影响值得我们进一步认真挖掘。隋唐之际,道教术数家李淳风在中国数学史上也做出杰出贡献。据《旧唐书》卷七十九《李淳风传》载云:“淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》、《孙子》十部算经。书成,高祖令国学行用。”⑥现今传本的算经十书每卷首页上都题有“唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”字样。李淳风所注的十部算经对中国数学的发展有着重要的积极作用。又如,古代珠算学经典《数术记遗》也是一个典型案例⑦,限于篇幅,另文讨论。 --------------------------- ①甄鸾,字叔遵,河北无极县人。北周朝曾任司隶大夫、汉中郡守,为道教信徒，通晓天文历法,撰《周天和年历》、《七曜历算》和《历术》;精于数学,撰有《五曹算经》、《五经算术》行世,并注《周髀算经》、《数术记遗》等。 ②阮元:《畴人传》卷十一,商务印书馆,1955年,第130页。 ③《魏书》卷一百一十四《释老志》,中华书局,第8册,第3049—3050页。 ④参见卿希泰主编:《中国道教史》第二卷,四川人民出版社,1988年。 ⑤阮元:《畴人传序》,商务印书馆,1955年,第2页。 ⑥《旧唐书》卷七十九《李淳风传》,中华书局,第8册,第2719页。 ⑦参见盖建民:《道教科学思想发凡》,社会科学文献出版社,2005年,第114—121页。 --------------------------- (责任编辑：admin) |