|
继明安图在幂级数方面取得研究成果后，清代学者在此领域中又有进展，其代表人物有董祐诚、项名达和戴煦等人。 董祐诚（1791—1823年），字方立，江苏常州人。少时家道中衰，生活困窘。嘉庆二十二年（1817年）随兄客居北京前，曾广游天下，兴趣及至经史、地理学及数学等方面。居北京后，专攻数学，且著作不少，有《割圆连比例图解》3卷、《椭圆求周术》1卷、《斜弧三边求角补术》1卷、《堆垛求积术》1卷。去世后，其兄董基诚汇其遗稿，以《董方立遗书》之名刊刻出版。 董祐诚少年时于梅瑴成《赤水遗珍》书中读到杜氏三术，但惜其语焉不详。后由友人处抄得载有杜氏三术和明安图六术的所谓“杜氏九术全本”，乃深入探究，务求“立法之原”，乃成《割圆连比例图解》3卷这一董氏之代表作。他从成连比例的几何线段入手，研究全弧通弦和分弧通弦二者的关系，结果也发现全弧正矢和分弧正矢之间关系，并明确给出4个幂级数展开式，即所谓“立法之原”四术，可推出所谓“杜氏九术”。 董祐诚《割圆连比例图解》著成后，方得见明安图遗书抄本，由是始知两人方法相同而具体步骤有异。董氏还在研究中发现，分割次数无限增多，则弧与弧可相互转化。他把这种现象称为“方圆互通”。他的见解相当于微积分。 项名达 （1789—1850年），原名万准，字步莱，号梅侣，浙江钱塘（今杭州）人。自幼喜读书，尤好历算之学。道光进士，惟未就知县之职，曾在杭州紫阳书院执教，主要数学著作有 《象数一原》6卷、《勾股六术》1卷、《三角和较术》1卷、《开诸乘方捷术》1卷。其中《象数一原》为其代表作。 项氏对“方圆互通”兴趣甚浓，乃在前人基础上深入研究，创“零整分递加”法。此法即把全弧不拘分为奇数等份或偶数等份，通弦或正矢均可以示为分弧的通弦或正矢的幂级数。于此，董祐诚的四术概括为二术，得出计算正弦值和正矢值的两个公式。由此“二术”，可推出“四术”，亦可推衍出所谓“杜氏九术”。 项氏在董祐诚对椭圆周长的研究基础上作出了可喜的成就。董氏以初等数学方法进行推导，但结果错误。项氏写有《椭圆求周术》一书，具体阐释求周长之法：将椭圆周分成若干等份，通过分点向长、短轴作垂线，连结两分点以之为椭圆分弧弦。以勾股定理和椭圆性质求分弧之弦长。分点无限增多之时，椭圆周长即等于分弧之弦的总和。项氏之法类似积分之法。 戴煦 （1805—1860年），字鄂士，号鹤墅，又号仲乙，浙江钱塘（今杭州）人。著有《重差图说》、《勾股和较集成》、《四元玉鉴细草》，惜未刊行；刊印之书为《求表捷法》，内收《对数简法》2卷、《续对数简法》1卷、《外切密率》4卷、《假数测圆》2卷等书。戴氏还曾在好友项名达去世后续成其《象数一原》。 戴氏之前研究幂级数，在通弦、正矢与弧间展开式研究较多。戴氏曾与项明达共同切磋正切、余切、正割、余割表示弧幂级数展开式，也研究以弧表示正切、余切、正割、余割幂级数展开式。项氏去世后，戴氏仍继续研究，终成《外切密率》一书。书中戴氏所创上述关系式，系用几何方法推导出来的，但准确无误，与今天推导结果不谋而合。以戴氏研究成果为标志，“方圆互通”的研究打上了阶段性的休止符。 戴氏于对数研究上也有成就。在他的《对数简法》、《续对数简法》二部著作中，首创指数为任意有理数的二项式展开式，探索出编造对数表的简易方法。 (责任编辑：admin) |