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春秋时用算筹记数，并已有了沿用于后世的制度，这是当时大量复杂数字计算的反映。在整数的四则运算中，用算筹做加减法十分简捷，只要掌握满十进一位就行。比较难一点的是乘除法。要进行任意整数的乘除法，就必须先有一套乘法表。中国古代把乘法表叫做“九九”，它从“九九八十一”开始，所以这个乘法表以“九九”得名。 “九九”的产生年代，《管子·轻重戊》云“管子对曰：虙戏作，造六峜，以迎阴阳，作九九之数，以合天道，而天下化之”。刘徽也说“昔在庖牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变”。 虙戏、庖牺即伏羲，这是把“九九”推到距今约七千年的史前时代。“九九”应较复杂的计算之需要而产生，说“九九”产生于伏羲时代，自然是不可信的。由于“九九”是中国占代数学的基本知识，进而成为数学的代名词，先秦时代的学者把很多发明发现追溯到远古的蛮荒时代，伏羲作“九九”的传说，可以理解为先秦学者对远古时代所取得的点滴进步的敬仰和怀念。 钱宝琮先生说“‘数’作为六艺之一，开始形成一个学科。，用算筹来记数和四则运算很可能在西周已经开始了”。这一推测是对的，只是证据还不够。严敦杰先生在郭沫若主编的《中国史稿》中说《周礼》的“六书”和“九数”是六十甲子和九九乘法表，也没有给予太多的证据，只是从《左传》载公元前548年楚令尹子木命司马蒍掩整治军赋，和公元前510年士弥牟营城周城．要用到十分丰富的数学知识，暗示西周已知九九表。殴燕等倾向于认为西周有九九，提出的证据是《礼记·王制》和《大戴礼记·王言》要用乘法和比例，以及《周礼》中多处反映朝廷对度量衡设有逐级管理人员，制定检查制度。这一结论正确。但三《礼》所载也可以看成是后世对理想社会的描述。 特别是《礼记》和《大戴礼记》，几乎没有人认为出于西周。笔者认为《周髀算经》的材料值得多加重视。《周髀算经》先是商高答周公问，然后是陈子答容方问，陈子提出了普遍的勾股定理．并用于复杂的天文计算。在陈子答荣方问以下部分的文献，也存在不同的层次。可见，这些内容带有明显的知识层次和时间层次的痕迹。最晚的层次可以定在西汉前期，陈子定在春秋中晚期，那么商高可以定在西周初年，这既与该书的内容的自述相符，也与赵爽注相合。《周髀算经》卷上商高答周公问说“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”。据赵爽注，周公姓姬名旦，武王之弟。则此周公为西周初大政治家，非后来一直世袭于周的周公后人。 有了“九九”和算筹工具，任意整数的乘除运算就迎刃而解了。下面参照《孙子算经》和《夏侯阳算经》的叙述举例说明用算筹做乘除法的方法。 两数相乘时，先用算筹布置一数于上，一数于下，古代不称为被乘数和乘数。将下数向左边移动，使其末一位和上数的首位相齐。以上数首位数字乘下数各位数，从左边至右边乘，上、下两数的中间用算筹布置乘得的结果，并且将后得的乘积依次并人前已算得的积数。求得了这一部分乘积之后，将上数的首位去掉，下数向右边移动一位。再以上数的第二位数目乘下数各位，并入中间已得到的积数。这样继续下去，直到上数各位一一去掉，中间所得就是二数相乘之积。 《周易·系辞》有一个四则运算的例子：“天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数，五十有五。此所以成变化而行鬼神也。大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰，五岁再闰，故再扐而后挂。是故四营而成易，十有八变而成卦。八卦而小成。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。显道神德行。是故可与酬酢，可与佑神矣。乾之策，二百一十有六。坤之策，百四十有四。凡三百有六十，当期之日。二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也”。此段文字包含以下运算： 天数总和为 1+3+5+7+9=25 地数总和为 2+4+6+8+10=30 天地之数为 25+30=55 把49根蓍草信手分为两部分，从这两部分中取一部分拿去l根，将这时的两部分，各自4根4根地取走，最后都余下不超过4根．其时所余的蓍草数有四组结果：(4，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，这实际上是(48 -m)÷4和m ÷4的余数。 3变得1爻，1卦6爻，1卦的变数为3×6=18。 阳爻用九由“揲四”而成，故用策9×4=36；阴爻用六亦由“揲四”而成，故用策6×4=24。 乾之策为36×6=216， 坤之策为24×6=144； 乾坤之策为：216+144=360。 易六十四卦，阳爻、阴爻之数各192，二篇之策为： 192×36+192×24=6912+4608=11520。 “系辞”所记的操作法，当远在“系辞”撰写的年代以前，最先可能是用多次相减的方法确定余数的，到了“系辞”时代就可以直接用乘法来计算抽出的蓍草数得到余下的蓍草数了。（邹大海） (责任编辑：admin) |