 1、数字神秘主义 把数字神秘化，是古代许多民族都经历过的意识发展阶段。它的原因大约有两条：一是这些数字与某些神秘的东西发生了联系，二是由于数学本身的进步。 人类由不会计数到学会计数，由简单的记数到进行复杂的运算，曾经历了一个漫长的过程。在这个过程的某些阶段，人们会有意无意地对这些数字进行研究。比如人们发现数有两种，一种是偶数，一种是奇数。如果仅仅如此，就不会有数字神秘主义。但是，数字是个通用的工具，当它和占卜联系起来的时候，人们就会把它和占卜中那些神圣而又成对的事物联系起来，比如和天地联系起来。由于天在前而地在后，一在前而二在后，三在前而四在后，所以将奇数归于天，偶数归于地是很自然的事情。由于天阳而地阴，所以奇数阳而偶数阴。这个思路继续发展，于是二象征天地，三象征三才，四象征四时，数字本身就神圣起来了。 数的作用之一是表示次序。《尚书•洪范》篇说：“一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土”，只是次序，我们今天也常用这样的方式来叙事。在数和事物之间，本没有什么必然的联系，说“一曰水”可以，说“二曰水”也未尝不可。但五行说流行起来的时候，原来本不经意的序数成了五种物质本身的一种不能分离的性质，成了它们自身性质的代表，并且还有所发展，把一，二、三、四、五叫做五行生数，把六，七、八，九、十叫五行成数，宋代又依这五行生成数做成《河图》、《洛书》，由《河图》，《洛书》的数据去解释大衍之数，由大衍之数去解释卦象的生成，而卦象又象征着天地间的一切，说它“弥纶天地之道”。但追根溯源，它们都起源于从一到十这几个自然数的结合，变化。那么，这十个自然数还不神秘吗? 音律学的进步，使人们发现了奇妙的音乐和数字的关系。黄钟律长九寸，其它各律都可根据它的长度用十种数学方法推算出来，于是九就获得了特殊的意义。音和自然界的风声相似，而风是气的发抒，音律及其数字就和天地之气有了关系；这样，所有的律数就都获得了一种神秘的意义。 至于有些数字被神秘化，可能仅与某些特殊事件有关。比如《史记•孟尝君列传》，说孟尝君田文生于五月五日，故这一天被认为是个不吉利的日子。 考察这些数字，多是十以内的自然数。这表明，越是简单的数字，与人们生活的关系越是密切，因而越可以使人轻而易举地把它与什么事物联系起来，赋予—种意义。随着人类智力的发展，一些较大的数字也会取得神圣的意义，比如十二生肖，十八般武艺，二十四孝，三十六计，大衍之数五十，天地之数五十有五，六十甲子，七十二般变化，人生百年，一百单八将，甚至十万八千里。但一般说来，还是越简单的数字越易被神化。比如你说个一万八千六百二十四，至今还未听一个人说过它有什么神秘意义。 数字神秘化的另一原因在于数学的进步，特别是历法的进步。我国古代最早也最重要的一本算书是《九章算术》，数学家们对它都给予了非常崇高的评价。《九章算术》共分九章，记载着土地测量，比例计算，劳役，租税分配，面积、体积计算，直角三角形的计算等等最实际的问题。在这些领域中，看不到一点数字神秘化的迹象。但历法就不同。历法推算的是天体的运行，即天道，而天道乃是神意的表现。神意竟能用数字推算出来，数字自然就显得神秘。而《易传》的大衍之数通过变出卦象也推衍出了天道，所以人们把历法数字和易数联系起来是毫不奇怪的。春秋战国时代，我国古代数学和天文学都有长足的进步，天文推算的准确为天文历算学家赢得了崇高的声誉。庄子说：“自此以往，巧历不能得，而况其凡乎”（《庄子•齐物论》）。就是说，再说下去，连高明的历算专家都算不出来，何况一般人呢！在人们眼里，历算学家解决不了的问题一般人就根本不能解决。而这种对历算学家的信任乃是天文、数学进步的直接结果。信任历算学家，也信任他所用的数字。然而过分的信任却造成了一种因果的颠倒：似乎是数字在决定着天体的运行。当历法与天象不合时，不是去修改历法，而是企图通过人君的自我向善去影响天象。这就是刘歆的天文历法思想。 一定的数字，通过一定的规则进行运算，必有一确定的结果。这样，就使数及其运算和必然性联系起来。 具体的事物，都可度量，因而都有一定的数。它们的生命历程，往往也有一定，如人生百年。这个“百年”之数似乎是人生本身的性质，定数。事物的运动，许多可以用数来描述，比如天体运动可用历法描述，这说明天体运动有一定规则。因此，数又和规则联在了一起。 天地生万物，人是佼佼者。人的生命及其界限(生命之数)也应该是天在赋予他生命及形体的时候同时赋予的，甚至赋予了他一生中必然的遭遇和命运，而必然性也是数。这样，天所赋予人的这些数就带上了一种神秘的意义。汉代飞将军李广，一生辛劳，屡建功勋，武艺超群，声名盖世。汉文帝称赞他说：使李将军得遇高皇帝，万户侯何足道哉！但李广终其一生：不仅连最小的侯也当不上，而且还因为行军迷了路、不愿被审判而悲愤自刎。当时人说他“数奇”。就是说，他一生的遭遇全是因为他自己的“数”不好。 再加以推广，一个王朝的兴亡，似乎也有一定的期限，也就是有个确定的数。这个数的大小，乃是天赋予的。 春秋战国时代，数就作为表示必然的、有规则的性质的概念披用于社会生活的各个方面。用兵有数： 凡军必知有五火之变，以数守之（《孙子兵法•火攻篇》）。 兵之大数，五十里不相救也(《孙膑兵法•五度九夺》）。 治学有数： 其数始于诵经，终于读礼(《苟子•劝学》)。 下棋有数： 今夫弈之为数（《孟子•告子》）。 各种技艺都有数，比如木匠： 斫轮………有数存焉于其间(《庄子•天道》)。 数成为哲学概念以后，和道往往可以互用。道有“天道”，数也有“天数”。天数和天道一样，曾经由于自身的必然性反对过任意性的天命，但是，当对天的尊崇日益浓烈起来以后；天数也在某些范围内代替天命，成为神意的表现，成为神秘莫测的概念。 数学把自己的一切本质都浓缩为一个字“数”，又把数推崇为哲学概念，推崇为天意的载体，那么，这个被拥戴起来的“数”给数学又带来了什么呢? 2、易数与圆周率 李约瑟先生在《中国科学技术史》中说：“历史学家们都十分注意古代数学家为了获得圆周和直径之比(即圆周率)的近似值所做的努力，这可能是因为π值的日益精确可作为各个时代的数学才能的量度”。祖冲之的圆周率是世界瞩目的数学成就，我们不妨先来看一看，《周易》对我国古代这项伟大的成就起了什么作用。 据李约瑟先生说，古埃及曾得到了3.1604的圆周率，古巴比伦曾得到3.125的圆周率，但各文明古国一般的作法是取π值为3。我国古代也是如此，至少在西汉，还是讲周三径一。 与周三径一并行，我国还有天圆地方的概念。虽然《礼记》上说孔子的弟子曾子就反对这个概念，说假如那样的话，天就不能严密地覆盖地了。但直到封建社会终结，这个概念仍然深深地影响着人们的思想和国家的政治生活。我们现在还可以看到，北京的天坛是圆的，天坛旁的那个祈年殿也是圆的，尽管盖这样的圆房子非常不易。而地坛则是方的，北京中山公园里的那个社稷坛也是方的，因为它也是地的象征。当人们耍赋予每个物一个数的时候，对天来说，三自然是最合适的数字。 《周易•说卦传》道：“参天两地而倚数”。参，就是叁。这句话可以理解为以三为代表的奇数属天，以二为代表的偶数属地。但是，也可以直接理解为天的数就是三。比如我们前面提到的虞翻就说，参就是三。而在一些特殊场合，比如圆周率问题，人们马上就会很自然地把天、圆、三联在一起。 国家的一个重要职能，就是颁布统一的度量衡标准，直到今天仍是如此。秦始皇统一中国；大功绩之一就是统一度量衡。今天我们去参观故宫，太和殿前头，还摆着那作为权力象征的标准量器。汉朝末年，王莽代汉作皇帝，刘歆也为王莽造了这样一个量器。这个量器现在保存于台湾的“故宫博物馆”，它的上面是个圆筒，底部翻过来，是个方形的斗。圆筒叫斛，斛两旁还有三个小量器，分别叫升，合、龠。上面有铭文，说明这量器的容积大小。铭文说：圆筒内壁可容一个边长一尺的正方形，正方形的角距圆筒内壁还有九厘五毫。底面积一百六十二平方寸，高一尺，容积一千六百二十立方寸，十斗。五六十年以前，数学家钱宝琮先生据刘歆提供的数字推得刘歆的圆周率为： =钱宝琮在推得这个结果以后说，刘歆演算的过程没有传下来，而且，刘歆未必有发明新闻周率的意思。尽管如此说，但不少人仍然认为，是刘歆首先突破周三径一，发明了新的圆周率。 刘歆以后，人们认为大科学家张衡发明了新的圆周率。一个是他的研究立方体与它的内接球体积之比时，得出的比率为。人们据此求得张衡的圆周率为3.1622。张衡还写了一个非常著名的天文学著作《灵宪》，认为天周地广之比为（有的本子为），据此又可推得： 这样，张衡就有两个圆周率。 事实上，不仅如钱宝琮先生所说，刘歆未必有发明新圆周率的意思，而且可以说，刘歆也好，张衡也好，都根本不会有发明新圆周率的意思。 刘歆说：“易大衍之数五十，其用四十九”，“推历生律制器，规圆矩面方”等等，“莫不用焉”。这是说，不论是制订历法，制订音律或制造器具，也不论是圆的计算或方的计算，都要以易数为根据； 刘歆又说：“易曰，参天两地而倚数。天之数始于一，终于二十五。其义纪之以三，故置一得三”。这是说从一到九的奇数和是二十五，这二十五一个当三个，共是七十五，再加一个六，就是八十一，也就是三统历的日法。天数为什么能一个当三个?显然因为天是圆的，圆的周径之比为周三径一。 刘歆解释他那个斛的样子和尺寸说，斛两旁有二个耳，看起来象喝酒的爵，象征把爵位和俸禄散给大家。解“上三下二”，表示“参天两地，圆而含方”。显然，圆象征天。参天两地，就是上三下二；上三下二就表示三是圆的数。在刘歆的心目中，三和圆是这样的密不可分，又具有如此神圣的意义，他怎么可能去触动这个神圣的数字！ 那么，他的那个圆周率又是怎么回事呢? 原来，这种形制的量器是过去就有的东西。据《周礼•考工记》载：鬴，圆筒形，深一尺，可内接边长一尺的正方体，其容积为一鬴。 《考工记》还说，测量容积的办法就是量。把锡熔化，铸成一定形状。再熔化，铸成可以量度的形状，就可测得圆柱形容器的容积。后来，人们大约也用水进行测量。刘歆所用的，也是这样一种办法，他说： 量者，龠、合、升、斗，斛也，所以量多少也。……用度数审其容，以子谷柜黍中者千有二百实其龠，以井水准其概……(《汉书•律历志》)。 刘歆经过实测，该斛容积为1620寸3。据深一尺，知底面积为162寸3。他注意的只是天圆地方、参天两地、容积面积和高度，丝毫也不曾想弄清圆的周长和周率。 后来的张衡，注意的也仅是正方体和内外接球体的体积之比，这个体积也可能是通过量度得出的。就是说，张衡和刘歆一样，也丝毫没有想到去打破周三径一的比率。 周三径一是个古老的概念，也是个非常粗疏的比率。汉代，天文、数学都有了非常大的进步，刘歆、张衡又都是汉代第一流的天文、历算学家，对于他们来说，这个比率的粗疏当是显而易见的，他们又几乎是无时无刻不在和或圆或方的东西打交道，圆周新率无时无刻不在向他们招手，有无数个机会可以让他们突破周三径一，但“参天两地”的概念蒙住了他们的眼睛，使他们对一切机会都视而不见。 魏晋时期的数学家刘徽说： 衡说之自然，欲协其阴阳奇偶之说，而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义病也。 所谓“阴阳奇偶之说”，就是与《周易》有关的那些概念。就是这些概念，使张衡错过了发明圆周新率的机会。 祖冲之严厉地批评说： 立圆旧误，张衡述而弗改。汉时斛铭，刘歆诡谬其数。 就是说，那个旧的、错误的圆周率，张衡只是照传，却不去改正。那个斛的铭文，刘歆用一些怪诞而荒谬的说法去解释其中的数据。这是数学家的大缺点。 东汉末年，谶纬迷信、天人感应的传统观念越来越暴露了它们的荒谬，在天文学领域，由于蔡邕和刘洪的活动，实事求是的精神逐步抬头。刘洪根据科学的考察，制订了新的历法。由于这部历法的方法进步，推算准确，刘洪被誉为后代“推步之师表”。至于蔡邕，不仅懂数学，而且还是新思想的传播者。 蔡邕以前，汉代有个伟大的思想家叫王充。他写了一部《论衡》，有理有据地逐一批判当时的天文感应、谶纬迷信思想。但王充的著作写成以后，长期湮没无闻。后来蔡邕到江南，得到了这部书。他反复阅读，并积极传播其中的思想。别人觉得蔡邕的思想，大有长进；猜想他一定是读了什么好书；在他屋里一翻，果然翻出了《论衡》。从此，《论衡》传播开来。 《论衡》的传播就象在那神学迷信长期统治下的烦闷污浊的空气中突然吹来了一股清凉的风，打击了形形色色的神学迷信，也打击了数学领域内的神秘观念。后果之一，是王蕃发现了圆周旧率的错误，并且要来纠正这个错误。 王蕃是吴国人，佩服刘洪的历法精妙。他在吴国推行刘洪的历法，并且自造浑仪，考察以前的各种数据。根据纬书所载的天体大小的数字，还有陆绩的解释，都表明，他们认为圆周率为周三径一。比如《洛书•甄曜度》、《春秋•考异邮》都记载着：周天1071000里，一度为2932里71步2尺7寸4分分。陆绩注道：天的直径为357000里，于是， 王蕃说，经过考察，周三径一是不对的，应是周142，径45，周率为： 王蕃才是中国历史上第一个打破周三径一、创造了圆周新率的人。从此以后，圆周率的计算有了飞速的进步。 在北方，魏国的刘徽发明了计算圆周率的新方法。他发现，周三径一只是圆内接正六边形与圆的直径的比。显然，圆内接正六边形的周长比圆周要小得多。假若是圆内接正十二边形，就比较接近圆的周长。边数越多，与圆的周长就越接近。刘徽相信，这样地继续下去，最后，圆内接正多边形的周长就会与圆周重合，而这个圆内接正2n(n=6)边形的周长是可以精确求出的；刘徽依自己的方法，求得圆周率为。刘徽知道，这个数据小于实际的圆周率，所以称为“弱率”。 后来，祖冲之也求得用分数表示的两个圆周率：，称疏率；，为密率。不少数学家认为，密率是祖冲之的空前杰作。一种说法是，这个杰作乃是刘徽圆周率的直接发展。将换成代分数： =3将分母50减1，则3=3=3=由于减少了分母，分值增大，大于实际的圆周率。祖冲之认为。真正的圆周率在与之间。 在刘徽之后祖冲之之前；天文学家何承天创一“调日法’。我们知道，历法是否精密，决定的因素在于每年、每月整日数以后的那个尾数。由于测量手段的限制，这个尾数非大即小，所以需要调整。调整的方法是：将一大一小二者的分子分母分别相加，得一新分数，其值介于二者之间，比如求一分数小于而大于，则将与分子分母分别相加，得+=，<<。这个过程可以连续进行下去，直到求得一满意数值为止。将与分子分母分别相加：< p=""> +依钱宝琮的意见，加到第九次：=这就是祖冲之的密率。变成小数：≈3.1415929 这非常接近祖冲之求得的那个小数值，然而使用起来要方便得多了。 祖冲之的密率是不是这样得出的?可以争论。有人认为是用连分数的方法从刘徽的弱率得来的。但大家几乎都一致承认，是刘徽的方法为祖冲之开辟了道路。而刘徽的方法与同时代的古希腊数学家阿基米德相比，则简便得多，并且刘徽认为，正2n(n=6)边形边数增多到某一时刻；可以和圆周重合。但阿基米德却认为，不论增到什么程度，直线总归是直线，不能与圆周重合。所以，刘徽的方法和祖冲之的数据，同样都是世界性的、具有历史意义的成 就。那么，是谁为刘徽的成就开辟了道路呢? 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